A dimensional estimate of Hawking temperature in an expanding universe
Imagine trying to write a recipe without knowing the quantities. You only know which ingredients you have: gravity, the speed of light, quantum effects and the link between energy and temperature. The units stop you from mixing them arbitrarily. You cannot add kilograms to seconds and expect a temperature to come out. That simple bookkeeping already narrows the possibilities.Imagina que quieres escribir una receta sin conocer las cantidades. Solo sabes qué ingredientes tienes: la gravedad, la velocidad de la luz, los efectos cuánticos y la relación entre energía y temperatura. Las unidades te impiden mezclarlos de cualquier manera. No puedes sumar kilos con segundos y esperar que aparezca una temperatura. Esa contabilidad sencilla ya reduce mucho las posibilidades.Stell dir vor, du willst ein Rezept schreiben, kennst aber die Mengen nicht. Du weißt nur, welche Zutaten vorhanden sind: Gravitation, Lichtgeschwindigkeit, Quanteneffekte und der Zusammenhang zwischen Energie und Temperatur. Die Einheiten verhindern, dass du sie beliebig mischst. Man kann keine Kilogramm zu Sekunden addieren und erwarten, dass eine Temperatur herauskommt. Diese einfache Buchhaltung schränkt die Möglichkeiten bereits stark ein.想象你要写出一个配方，却不知道各种量应该是多少。你只知道手里有哪些“原料”：引力、光速、量子效应，以及能量和温度之间的联系。单位不允许你随意把它们混在一起。你不能把千克和秒相加，然后期待得到温度。仅仅这种简单的单位核算，就已经排除了大量可能性。
The object in this story is a Schwarzschild black hole: the idealized case of a black hole with no rotation and no electric charge, whose only defining property is its mass. Dimensional analysis combines the available ingredients into a temperature and immediately tells us something striking: the temperature falls when the mass grows.El objeto de esta historia es un agujero negro de Schwarzschild: el caso idealizado de un agujero negro sin rotación ni carga eléctrica, cuya única propiedad es su masa. El análisis dimensional combina los ingredientes disponibles para formar una temperatura y nos dice de inmediato algo llamativo: la temperatura disminuye cuando la masa aumenta.Das Objekt dieser Geschichte ist ein Schwarzschild-Schwarzes Loch: der idealisierte Fall eines nicht rotierenden und elektrisch ungeladenen Schwarzen Lochs, dessen einzige bestimmende Eigenschaft seine Masse ist. Die Dimensionsanalyse verbindet die verfügbaren Zutaten zu einer Temperatur und verrät sofort etwas Bemerkenswertes: Mit wachsender Masse sinkt die Temperatur.这里讨论的是史瓦西黑洞：一种不旋转、也不带电的理想化黑洞，它唯一的特征就是质量。量纲分析把手头的“原料”组合成温度，并立刻告诉我们一件惊人的事：质量越大，温度越低。
The scale is the real surprise. A black hole with the mass of the Sun would be only about six hundred-millionths of a kelvin. Give it ten solar masses and it becomes ten times colder. Without solving the full problem, we already know that a small black hole is hotter and a large one is colder.La escala es la verdadera sorpresa. Un agujero negro con la masa del Sol tendría una temperatura de apenas unas seis cienmillonésimas de kelvin. Si le das diez masas solares, se vuelve diez veces más frío. Sin resolver el problema completo, ya sabemos que un agujero negro pequeño es más caliente y uno grande es más frío.Die Größenordnung ist die eigentliche Überraschung. Ein Schwarzes Loch mit der Masse der Sonne hätte eine Temperatur von nur etwa sechs Hundertmillionstel Kelvin. Bei zehn Sonnenmassen wäre es zehnmal kälter. Ohne das vollständige Problem zu lösen, wissen wir bereits: Ein kleines Schwarzes Loch ist heißer, ein großes kälter.真正令人惊讶的是这个尺度。一个太阳质量的黑洞，温度只有大约六亿分之一开尔文。若它有十个太阳质量，温度还会低十倍。不解完整方程，我们就已经知道：小黑洞更热，大黑洞更冷。
But the recipe has a limit. Units alone cannot discover that the black hole radiates, and they cannot choose the exact numerical factor. Quantum field theory in curved spacetime supplies that missing piece. The units find the mould; fundamental physics decides which phenomenon fills it and which number belongs in front.Pero la receta tiene un límite. Las unidades por sí solas no pueden descubrir que el agujero negro emite radiación ni elegir el factor numérico exacto. La teoría cuántica de campos en espacio-tiempo curvo aporta esa pieza faltante. Las unidades encuentran el molde; la física fundamental decide qué fenómeno lo llena y qué número va delante.Doch das Rezept hat eine Grenze. Die Einheiten allein können nicht entdecken, dass das Schwarze Loch Strahlung aussendet, und sie können auch den genauen Zahlenfaktor nicht festlegen. Die Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit liefert dieses fehlende Stück. Die Einheiten finden die Form; die fundamentale Physik entscheidet, welches Phänomen sie ausfüllt und welche Zahl davorsteht.不过，这个配方也有边界。单靠单位无法发现黑洞会辐射，也无法确定精确的数值因子。弯曲时空中的量子场论补上了缺失的部分。单位只能找到模具；究竟填入什么物理现象，以及前面的数字是多少，要由基本物理决定。
Now imagine a black hole floating in space. From every direction comes a faint glow: the cosmic microwave background, the cooled echo of the early universe. Today that background is only about 2.7 degrees above absolute zero. The black hole has its own Hawking glow as well, but whether it loses or gains energy depends on which of the two is warmer.Imagina ahora un agujero negro flotando en el espacio. Desde todas direcciones llega un resplandor muy débil: el fondo cósmico de microondas, el eco enfriado del universo temprano. Hoy ese fondo está apenas a unos 2,7 grados sobre el cero absoluto. El agujero negro también tiene su propio resplandor de Hawking, pero que pierda o gane energía depende de cuál de los dos esté más caliente.Stell dir nun ein Schwarzes Loch vor, das im Raum schwebt. Aus allen Richtungen kommt ein schwaches Leuchten: der kosmische Mikrowellenhintergrund, das abgekühlte Echo des frühen Universums. Heute liegt dieser Hintergrund nur etwa 2,7 Grad über dem absoluten Nullpunkt. Auch das Schwarze Loch besitzt sein Hawking-Leuchten; ob es Energie verliert oder gewinnt, hängt davon ab, welches der beiden Systeme wärmer ist.现在想象一个漂浮在太空中的黑洞。微弱的光从四面八方而来：宇宙微波背景，也就是早期宇宙冷却后的回声。今天，这个背景的温度只比绝对零度高约 2.7 度。黑洞也有自己的霍金辐射，但它究竟损失还是吸收能量，取决于两者谁更热。
The boundary lies at about 61 percent of the Moon's mass. That is roughly thirty times the mass of all Earth's oceans, compressed into a single black hole. Below that boundary, the black hole would tend to evaporate in the present background. Above it, it would absorb more radiation than it emits. A solar-mass black hole is about forty-four million times colder than the background; one with ten solar masses is about ten times colder again.La frontera está cerca de un 61 por ciento de la masa de la Luna. Eso equivale aproximadamente a treinta veces la masa de todos los océanos de la Tierra, concentrada en un solo agujero negro. Por debajo de esa frontera, el agujero negro tendería a evaporarse en el fondo actual. Por encima, absorbería más radiación de la que emite. Uno con la masa del Sol es unas cuarenta y cuatro millones de veces más frío que el fondo; uno con diez masas solares es diez veces más frío todavía.Die Grenze liegt bei ungefähr 61 Prozent der Mondmasse. Das entspricht etwa dem Dreißigfachen der Masse aller Ozeane der Erde, in einem einzigen Schwarzen Loch konzentriert. Unterhalb dieser Grenze würde das Schwarze Loch im heutigen Hintergrund zur Verdampfung neigen. Oberhalb davon nimmt es mehr Strahlung auf, als es aussendet. Ein Schwarzes Loch mit Sonnenmasse ist etwa 44 Millionen Mal kälter als der Hintergrund; bei zehn Sonnenmassen ist es noch einmal zehnmal kälter.这条分界线大约位于月球质量的 61%。这相当于地球所有海洋质量总和的约三十倍，却被压缩在一个黑洞里。在这条分界线以下，黑洞在今天的背景辐射中会倾向于蒸发；在这条线以上，它吸收的辐射多于自己发出的辐射。一个太阳质量的黑洞比背景冷约四千四百万倍；十个太阳质量的黑洞还要再冷十倍。
The comparison with the CMB tells us the direction of the thermal balance, not that the growth would be important today. Gas, stars and mergers overwhelm the tiny contribution from the background radiation. The universe can be warmer than a black hole without feeding it noticeably.La comparación con el fondo cósmico nos dice hacia dónde apunta el balance térmico, no que el crecimiento vaya a ser importante hoy. El gas, las estrellas y las fusiones superan por mucho el aporte diminuto de la radiación de fondo. El universo puede estar más caliente que un agujero negro sin alimentarlo de manera apreciable.Der Vergleich mit dem Mikrowellenhintergrund zeigt die Richtung der Wärmebilanz, bedeutet aber nicht, dass das Wachstum heute wichtig wäre. Gas, Sterne und Verschmelzungen übertreffen den winzigen Beitrag der Hintergrundstrahlung bei Weitem. Das Universum kann wärmer sein als ein Schwarzes Loch, ohne es merklich zu füttern.与宇宙微波背景的比较告诉我们热平衡的方向，但不代表今天的增长会很重要。气体、恒星和并合过程带来的贡献远大于背景辐射的微小输入。宇宙可以比黑洞更热，却几乎无法显著喂大它。
Space expands, and the waves that make up the cosmic background stretch with it. Longer waves mean a colder background. In the far future, if the cosmological constant behaves as expected, the expansion will resemble a de Sitter universe: space grows at a rate proportional to its own size. The background then cools exponentially.El espacio se expande y las ondas que forman el fondo cósmico se estiran con él. Ondas más largas significan un fondo más frío. En el futuro lejano, si la constante cosmológica se comporta como esperamos, la expansión se parecerá a la de un universo de de Sitter: el espacio crece a una velocidad proporcional a su propio tamaño. Entonces el fondo se enfría de manera exponencial.Der Raum dehnt sich aus, und die Wellen des kosmischen Hintergrunds werden mitgedehnt. Längere Wellen bedeuten einen kälteren Hintergrund. In ferner Zukunft wird die Expansion, sofern sich die kosmologische Konstante wie erwartet verhält, einem de-Sitter-Universum ähneln: Der Raum wächst mit einer Rate, die proportional zu seiner eigenen Größe ist. Der Hintergrund kühlt dann exponentiell ab.空间在膨胀，组成宇宙背景的波也随之被拉长。更长的波意味着更冷的背景。在遥远的未来，如果宇宙学常数的行为符合预期，膨胀将类似于德西特宇宙：空间的增长速率与自身大小成正比。此时背景温度会指数式下降。
A ten-solar-mass black hole would cross the background temperature in roughly 350 billion years. For one with a million solar masses, the wait would be about 550 billion years; for a billion solar masses, about 671 billion years. Increasing the mass tenfold does not multiply the whole wait by ten: it adds roughly forty billion years in this late-time model.Un agujero negro de diez masas solares cruzaría la temperatura del fondo en unos 350 mil millones de años. Para uno de un millón de masas solares, la espera sería de unos 550 mil millones de años; para uno de mil millones de masas solares, de unos 671 mil millones. Aumentar la masa diez veces no multiplica toda la espera por diez: en este modelo tardío agrega aproximadamente cuarenta mil millones de años.Ein Schwarzes Loch mit zehn Sonnenmassen würde die Temperatur des Hintergrunds in ungefähr 350 Milliarden Jahren unterschreiten. Bei einer Million Sonnenmassen wären es etwa 550 Milliarden Jahre, bei einer Milliarde Sonnenmassen etwa 671 Milliarden Jahre. Eine Verzehnfachung der Masse verzehnfacht die gesamte Wartezeit nicht: In diesem Modell kommen ungefähr 40 Milliarden Jahre hinzu.一个十倍太阳质量的黑洞，大约要在三千五百亿年后才会越过背景温度。对于一百万个太阳质量，等待时间约为五千五百亿年；对于十亿个太阳质量，约为六千七百一十亿年。质量增加十倍并不会让整个等待时间也增加十倍：在这个晚期宇宙模型中，只会增加大约四百亿年。
Crossing the background temperature does not mean that the black hole disappears. It only marks the moment when Hawking emission becomes the larger side of the balance. Complete evaporation is vastly slower: for a stellar black hole, the timescale would be written as a one followed by roughly sixty-seven zeros.Cruzar la temperatura del fondo no significa que el agujero negro desaparezca. Solo marca el momento en que la emisión de Hawking pasa a dominar el balance. La evaporación completa es muchísimo más lenta: para un agujero negro estelar, la escala temporal se escribiría como un uno seguido de aproximadamente sesenta y siete ceros.Das Unterschreiten der Hintergrundtemperatur bedeutet nicht, dass das Schwarze Loch verschwindet. Es markiert nur den Zeitpunkt, ab dem die Hawking-Abstrahlung die Bilanz dominiert. Die vollständige Verdampfung dauert sehr viel länger: Für ein stellares Schwarzes Loch würde die Zeitskala ungefähr als eine Eins mit 67 Nullen geschrieben.越过背景温度并不意味着黑洞会消失。它只标志着霍金辐射开始在热平衡中占据主导。完全蒸发还要慢得多：对于恒星质量黑洞，这个时间尺度可以写成一个 1 后面跟大约 67 个零。
For a four-dimensional Schwarzschild black hole, seek a quantity with temperature dimensions from ℏ, c, G, kB and the mass M. The relevant dimensions are [G] = L3M−1T−2, [ℏ] = ML2T−1, [c] = LT−1 and [kB] = ML2T−2Θ−1.Para un agujero negro de Schwarzschild en cuatro dimensiones, buscamos una cantidad con dimensiones de temperatura a partir de ℏ, c, G, kB y la masa M. Las dimensiones relevantes son [G] = L3M−1T−2, [ℏ] = ML2T−1, [c] = LT−1 y [kB] = ML2T−2Θ−1.Für ein vierdimensionales Schwarzschild-Schwarzes Loch suchen wir aus ℏ, c, G, kB und der Masse M eine Größe mit der Dimension einer Temperatur. Die relevanten Dimensionen sind [G] = L3M−1T−2, [ℏ] = ML2T−1, [c] = LT−1 und [kB] = ML2T−2Θ−1.对于四维史瓦西黑洞，我们用 ℏ、c、G、kB 与质量 M 构造具有温度量纲的量。相关量纲为 [G] = L3M−1T−2、[ℏ] = ML2T−1、[c] = LT−1 以及 [kB] = ML2T−2Θ−1。
Up to a pure number, the only combination is TH = C ℏc3/(GkBM). Dimensional analysis therefore fixes the inverse-mass scaling and the absolute temperature scale. It cannot determine C: dimensions do not distinguish between 1, 2, 4π or any other dimensionless number.Salvo por un número puro, la única combinación es TH = C ℏc3/(GkBM). Por tanto, el análisis dimensional fija la dependencia inversa con la masa y la escala absoluta de temperatura. No puede determinar C: las dimensiones no distinguen entre 1, 2, 4π ni ningún otro número adimensional.Bis auf eine reine Zahl ist die einzige Kombination TH = C ℏc3/(GkBM). Die Dimensionsanalyse legt damit die inverse Massenskalierung und die absolute Temperaturskala fest. C kann sie nicht bestimmen: Dimensionen unterscheiden nicht zwischen 1, 2, 4π oder einer anderen dimensionslosen Zahl.除去一个纯数因子外，唯一的组合是 TH = C ℏc3/(GkBM)。因此，量纲分析确定了温度随质量反比的标度以及温度的绝对尺度，但不能确定 C：量纲无法区分 1、2、4π 或其他无量纲数字。
Hawking's calculation supplies the missing normalization, C = 1/(8π), so TH = ℏc3/(8πGkBM). A compact route to the factor uses the thermal relation TH = ℏκ/(2πckB) together with the Schwarzschild surface gravity κ = c4/(4GM). The dimensional combination is inevitable; quantum fields near the horizon and the relativistic geometry select the normalization.El cálculo de Hawking aporta la normalización faltante, C = 1/(8π), de modo que TH = ℏc3/(8πGkBM). Una forma compacta de ver el factor usa la relación térmica TH = ℏκ/(2πckB) junto con la gravedad superficial de Schwarzschild κ = c4/(4GM). La combinación dimensional es inevitable; los campos cuánticos cerca del horizonte y la geometría relativista seleccionan la normalización.Hawkings Rechnung liefert die fehlende Normierung, C = 1/(8π), also TH = ℏc3/(8πGkBM). Einen kompakten Zugang zum Faktor gibt die thermische Beziehung TH = ℏκ/(2πckB) zusammen mit der Schwarzschild-Oberflächengravitation κ = c4/(4GM). Die Dimensionskombination ist unvermeidlich; Quantenfelder nahe dem Horizont und die relativistische Geometrie bestimmen die Normierung.霍金计算给出了缺失的归一化因子，C = 1/(8π)，于是 TH = ℏc3/(8πGkBM)。要简洁地看出这个因子，可以结合热关系 TH = ℏκ/(2πckB) 与史瓦西黑洞的表面引力 κ = c4/(4GM)。量纲组合是必然的；视界附近的量子场与相对论几何决定了归一化。
Numerically, TH(M) ≈ 1.227 × 1023 K kg / M ≈ 6.17 × 10−8(M☉/M) K. The dimensional estimate gets the mass dependence and this scale before the exact Hawking factor is known; it is the factor 1/(8π), not the dimensional reasoning, that belongs to the full quantum-field calculation.Numéricamente, TH(M) ≈ 1,227 × 1023 K kg / M ≈ 6,17 × 10−8(M☉/M) K. La estimación dimensional obtiene la dependencia con la masa y esta escala antes de conocer el factor exacto de Hawking; el factor 1/(8π), no el razonamiento dimensional, pertenece al cálculo completo de teoría cuántica de campos.Numerisch gilt TH(M) ≈ 1,227 × 1023 K kg / M ≈ 6,17 × 10−8(M☉/M) K. Die Dimensionsabschätzung liefert Massenskalierung und Größenordnung, bevor der exakte Hawking-Faktor bekannt ist; der Faktor 1/(8π), nicht die Dimensionsanalyse, stammt aus der vollständigen Quantenfeldrechnung.数值上，TH(M) ≈ 1.227 × 1023 K kg / M ≈ 6.17 × 10−8(M☉/M) K。在知道精确霍金因子之前，量纲估计已经给出质量依赖与温度尺度；真正属于完整量子场论计算的是 1/(8π) 这一因子，而不是反比标度本身。
Take the present CMB temperature as TCMB,0 = 2.7255 K. Equating it to the Hawking temperature gives Mc ≈ 4.50 × 1022 kg ≈ 0.613 MMoon ≈ 2.26 × 10−8M☉. In an ideal thermal bath, TH greater than the environment means net emission, while TH lower than the environment means net absorption.Tomemos la temperatura actual del CMB como TCMB,0 = 2,7255 K. Igualarla a la temperatura de Hawking entrega Mc ≈ 4,50 × 1022 kg ≈ 0,613 MLuna ≈ 2,26 × 10−8M☉. En un baño térmico ideal, TH mayor que la del entorno implica emisión neta, mientras que TH menor que la del entorno implica absorción neta.Setzen wir die heutige CMB-Temperatur TCMB,0 = 2,7255 K an. Ihre Gleichsetzung mit der Hawking-Temperatur ergibt Mc ≈ 4,50 × 1022 kg ≈ 0,613 MMond ≈ 2,26 × 10−8M☉. In einem idealen Wärmebad bedeutet TH größer als die Umgebung Nettoemission, während TH kleiner als die Umgebung Nettoabsorption bedeutet.取当前宇宙微波背景温度 TCMB,0 = 2.7255 K。令它等于霍金温度得到 Mc ≈ 4.50 × 1022 kg ≈ 0.613 M月球 ≈ 2.26 × 10−8M☉。在理想热浴中，TH 高于环境温度意味着净发射，低于环境温度则意味着净吸收。
The equality defines the mass scale, not the exact flux. Greybody factors, the absorption cross-section and the spectrum of the bath affect the magnitude of the exchange. They do not change the basic conclusion for the present CMB: astrophysical black holes are colder than their environment and therefore absorb more CMB radiation than they emit through Hawking radiation.La igualdad define la escala de masa, no el flujo exacto. Los factores de cuerpo gris, la sección eficaz de absorción y el espectro del baño modifican la magnitud del intercambio. No cambian la conclusión básica para el CMB actual: los agujeros negros astrofísicos son más fríos que su entorno y, por tanto, absorben más radiación del CMB de la que emiten mediante Hawking.Die Gleichheit definiert die Massenskala, nicht den genauen Fluss. Graukörperfaktoren, Absorptionsquerschnitt und Bad-Spektrum verändern die Größe des Austauschs. Die grundlegende Aussage für den heutigen CMB bleibt jedoch: Astrophysikalische Schwarze Löcher sind kälter als ihre Umgebung und absorbieren daher mehr CMB-Strahlung, als sie durch Hawking-Strahlung aussenden.这个等式确定的是质量尺度，而不是精确的能量流。灰体因子、吸收截面以及热浴谱都会改变交换的大小，但不会改变当前宇宙微波背景下的基本结论：天体物理黑洞比环境更冷，因此吸收的宇宙微波背景辐射多于通过霍金辐射发出的能量。
| MassMasaMasse质量 | Hawking temperatureTemperatura de HawkingHawking-Temperatur霍金温度 | CMB / HawkingCMB / HawkingCMB / HawkingCMB / 霍金温度 |
|---|---|---|
| 0.613 MMoon0,613 MLuna0,613 MMond0.613 M月球 | 2.7255 K2,7255 K2,7255 K2.7255 K | 1igualdadGleichheit相等 |
| 1 M☉ | 6.17 × 10−8 K6,17 × 10−8 K6,17 × 10−8 K6.17 × 10−8 K | 4.4 × 1074,4 × 1074,4 × 1074.4 × 107 |
| 10 M☉ | 6.17 × 10−9 K6,17 × 10−9 K6,17 × 10−9 K6.17 × 10−9 K | 4.4 × 1084,4 × 1084,4 × 1084.4 × 108 |
| 106 M☉ | 6.17 × 10−14 K6,17 × 10−14 K6,17 × 10−14 K6.17 × 10−14 K | 4.4 × 10134,4 × 10134,4 × 10134.4 × 1013 |
| 109 M☉ | 6.17 × 10−17 K6,17 × 10−17 K6,17 × 10−17 K6.17 × 10−17 K | 4.4 × 10164,4 × 10164,4 × 10164.4 × 1016 |
The thermodynamic sign should not be confused with the dynamical importance of the flux. For an astrophysical black hole, gas, stars and mergers dominate the mass budget; the CMB contribution is negligible even while it has the opposite sign to Hawking evaporation.El signo termodinámico no debe confundirse con la importancia dinámica del flujo. Para un agujero negro astrofísico, el gas, las estrellas y las fusiones dominan el balance de masa; el aporte del CMB es despreciable aunque tenga signo opuesto a la evaporación de Hawking.Das thermodynamische Vorzeichen darf nicht mit der dynamischen Bedeutung des Flusses verwechselt werden. Bei einem astrophysikalischen Schwarzen Loch bestimmen Gas, Sterne und Verschmelzungen die Massenbilanz; der CMB-Beitrag ist vernachlässigbar, obwohl er das entgegengesetzte Vorzeichen zur Hawking-Verdampfung besitzt.不能把热力学上的符号与能量流的动力学重要性混为一谈。对于天体物理黑洞，气体、恒星与并合主导质量收支；即使宇宙微波背景的作用方向与霍金蒸发相反，它的贡献仍然可以忽略。
With a0 = 1, the photon temperature scales as TCMB(a) = TCMB,0/a. For a fixed-mass black hole, the crossing scale is therefore a* = TCMB,0/TH(M) ≈ 4.42 × 108(M/10M☉). This is an idealized crossing calculation: it tracks the CMB and holds the black-hole mass fixed.Con a0 = 1, la temperatura de los fotones escala como TCMB(a) = TCMB,0/a. Para un agujero negro de masa fija, la escala del cruce es entonces a* = TCMB,0/TH(M) ≈ 4,42 × 108(M/10M☉). Es un cálculo idealizado: sigue la evolución del CMB y mantiene fija la masa del agujero negro.Für a0 = 1 skaliert die Photonentemperatur als TCMB(a) = TCMB,0/a. Für ein Schwarzes Loch mit fester Masse liegt die Kreuzung daher bei a* = TCMB,0/TH(M) ≈ 4,42 × 108(M/10M☉). Diese Kreuzungsrechnung ist idealisiert: Sie verfolgt den CMB und hält die Masse des Schwarzen Lochs konstant.取 a0 = 1，光子温度按 TCMB(a) = TCMB,0/a 缩放。因此，对于质量固定的黑洞，温度相交的尺度为 a* = TCMB,0/TH(M) ≈ 4.42 × 108(M/10M☉)。这是一个理想化的相交计算：只追踪宇宙微波背景的演化，并保持黑洞质量不变。
Adopt a flat ΛCDM model with H0 = 67.4 km s−1 Mpc−1, Ωm = 0.315 and ΩΛ = 0.685. The time from today to a* isAdoptemos un modelo ΛCDM plano con H0 = 67,4 km s−1 Mpc−1, Ωm = 0,315 y ΩΛ = 0,685. El tiempo desde hoy hasta a* esWir verwenden ein flaches ΛCDM-Modell mit H0 = 67,4 km s−1 Mpc−1, Ωm = 0,315 und ΩΛ = 0,685. Die Zeit von heute bis a* ist取平直 ΛCDM 模型，H0 = 67.4 km s−1 Mpc−1、Ωm = 0.315、ΩΛ = 0.685。从今天到 a* 的时间为
Δt = [2/(3H0√ΩΛ)] {sinh−1[√(ΩΛ/Ωm) a*3/2] − sinh−1[√(ΩΛ/Ωm)]}.Δt = [2/(3H0√ΩΛ)] {sinh−1[√(ΩΛ/Ωm) a*3/2] − sinh−1[√(ΩΛ/Ωm)]}.Δt = [2/(3H0√ΩΛ)] {sinh−1[√(ΩΛ/Ωm) a*3/2] − sinh−1[√(ΩΛ/Ωm)]}.Δt = [2/(3H0√ΩΛ)] {sinh−1[√(ΩΛ/Ωm) a*3/2] − sinh−1[√(ΩΛ/Ωm)]}。
In the late universe, matter becomes negligible and a(t) behaves as eHΛt, with HΛ = H0√ΩΛ and HΛ−1 ≈ 17.5 Gyr. Because a* is proportional to M, the crossing time grows only logarithmically with mass: Δt*(M) ≈ HΛ−1 ln M + constant.En el universo tardío, la materia se vuelve despreciable y a(t) se comporta como eHΛt, con HΛ = H0√ΩΛ y HΛ−1 ≈ 17,5 Gyr. Como a* es proporcional a M, el tiempo de cruce crece solo logarítmicamente con la masa: Δt*(M) ≈ HΛ−1 ln M + constante.Im späten Universum wird Materie vernachlässigbar, und a(t) verhält sich wie eHΛt, mit HΛ = H0√ΩΛ und HΛ−1 ≈ 17,5 Gyr. Da a* proportional zu M ist, wächst die Kreuzungszeit nur logarithmisch mit der Masse: Δt*(M) ≈ HΛ−1 ln M + Konstante.在宇宙晚期，物质项变得可以忽略，a(t) 呈 eHΛt 的形式，其中 HΛ = H0√ΩΛ，且 HΛ−1 ≈ 17.5 Gyr。由于 a* 与 M 成正比，相交时间只随质量对数增长：Δt*(M) ≈ HΛ−1 ln M + 常数。
| MassMasaMasse质量 | Crossing scale a*Escala de cruce a*Kreuzungsskala a*相交尺度 a* | Time from todayTiempo desde hoyZeit ab heute距今时间 |
|---|---|---|
| 10 M☉ | 4.42 × 1084,42 × 1084,42 × 1084.42 × 108 | 347.8 Gyr347,8 Gyr347,8 Gyr347.8 Gyr |
| 106 M☉ | 4.42 × 10134,42 × 10134,42 × 10134.42 × 1013 | 549.6 Gyr549,6 Gyr549,6 Gyr549.6 Gyr |
| 109 M☉ | 4.42 × 10164,42 × 10164,42 × 10164.42 × 1016 | 670.7 Gyr670,7 Gyr670,7 Gyr670.7 Gyr |
Each tenfold increase in mass delays the crossing by HΛ−1 ln 10 ≈ 40.4 Gyr in this asymptotic regime. The result belongs to the specified flat ΛCDM model; it is not a model-independent prediction for the entire future of cosmology.Cada aumento de diez veces en la masa retrasa el cruce en HΛ−1 ln 10 ≈ 40,4 Gyr en este régimen asintótico. El resultado pertenece al modelo ΛCDM plano especificado; no es una predicción independiente de todo el futuro cosmológico.Jede Verzehnfachung der Masse verschiebt die Kreuzung in diesem asymptotischen Regime um HΛ−1 ln 10 ≈ 40,4 Gyr. Das Ergebnis gehört zum angegebenen flachen ΛCDM-Modell und ist keine modellunabhängige Vorhersage für die gesamte kosmologische Zukunft.在这个渐近区域内，质量每增加十倍，相交时间就会延后 HΛ−1 ln 10 ≈ 40.4 Gyr。这个结果属于所指定的平直 ΛCDM 模型，并不是对整个宇宙未来的模型无关预测。
The preceding calculation treats the CMB as a bath that cools indefinitely. Exact de Sitter space also has a horizon temperature, the Gibbons–Hawking temperature, TdS = ℏHΛ/(2πkB) ≈ 2.2 × 10−30 K for the adopted parameters. It is far below the Hawking temperatures of the black holes considered here, so it does not change the CMB crossing times. It does remind us that the asymptotic thermal state of de Sitter space is not an absolutely cold vacuum.El cálculo anterior trata el CMB como un baño que se enfría indefinidamente. El espacio de de Sitter exacto también tiene una temperatura de horizonte, la temperatura de Gibbons-Hawking, TdS = ℏHΛ/(2πkB) ≈ 2,2 × 10−30 K para los parámetros adoptados. Es muy inferior a las temperaturas de Hawking de los agujeros negros considerados, por lo que no cambia los tiempos de cruce con el CMB. Sí recuerda que el estado térmico asintótico de de Sitter no es un vacío absolutamente frío.Die vorangehende Rechnung behandelt den CMB als ein Bad, das sich unbegrenzt abkühlt. Exakter de-Sitter-Raum besitzt zusätzlich eine Horizonttemperatur, die Gibbons-Hawking-Temperatur, TdS = ℏHΛ/(2πkB) ≈ 2,2 × 10−30 K für die verwendeten Parameter. Sie liegt weit unter den Hawking-Temperaturen der hier betrachteten Schwarzen Löcher und ändert daher die CMB-Kreuzungszeiten nicht. Sie erinnert jedoch daran, dass der asymptotische thermische Zustand des de-Sitter-Raums kein absolut kaltes Vakuum ist.前面的计算把宇宙微波背景视为会无限冷却的热浴。精确的德西特空间还具有视界温度，即吉本斯–霍金温度；对于所采用的参数，TdS = ℏHΛ/(2πkB) ≈ 2.2 × 10−30 K。它远低于这里讨论的黑洞霍金温度，因此不会改变与宇宙微波背景相交的时间。但它提醒我们：德西特空间的渐近热态并不是绝对寒冷的真空。
There are three distinct layers in the argument. Dimensions fix the form of the thermal scale. Quantum fields in curved spacetime fix the radiation and the normalization. Cosmology determines when the external bath stops dominating the balance. That separation is also useful for quantum thermal machines: an effective temperature is not enough by itself; one must specify the bath, the coupling and the regime in which the heat flow is interpreted.En el argumento hay tres niveles distintos. Las dimensiones fijan la forma de la escala térmica. Los campos cuánticos en espacio-tiempo curvo fijan la radiación y la normalización. La cosmología determina cuándo el baño externo deja de dominar el balance. Esa separación también es útil para los motores térmicos cuánticos: una temperatura efectiva no basta por sí sola; hay que especificar el baño, el acoplamiento y el régimen en que se interpreta el flujo de calor.Das Argument enthält drei verschiedene Ebenen. Die Dimensionen legen die Form der thermischen Skala fest. Quantenfelder in gekrümmter Raumzeit bestimmen Strahlung und Normierung. Die Kosmologie legt fest, wann das äußere Bad die Bilanz nicht mehr dominiert. Diese Trennung ist auch für Quantenwärmekraftmaschinen nützlich: Eine effektive Temperatur allein genügt nicht; Bad, Kopplung und das Regime, in dem der Wärmestrom interpretiert wird, müssen angegeben werden.这个论证包含三个不同层次。量纲确定热尺度的形式；弯曲时空中的量子场确定辐射与归一化；宇宙学决定外部热浴何时不再主导平衡。这种区分对量子热机同样有用：单独给出有效温度还不够，还必须说明热浴、耦合以及解释热流所处的区域。
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